Fibonacci Dizisi ve Altın Oran

      Fibonacci dizisi her sayının kendisinden önceki sayıyla toplanması sonucu meydana gelen bir sayı dizisidir ve 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... şeklinde devam eder. Peki böyle bir diziyi elde etmek kimin, neden aklına gelir? Fibonacci dizisi aslında İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci tarafından 1202 yılında yazılmış Liber Abaci kitabındaki bir problemin çözümüdür. Problem şöyle: 

Belirli bir bölgeye yeni doğmuş bir tavşan çifti konuluyor. Her tavşan çifti ikinci aydan itibaren yetişkin hâle geliyor ve her ay yeni bir tavşan çifti doğuruyor. Bir yıl sonra kaç çift tavşan olur? 

problemi çözmek için öncelikle bazı varsayımlarda bulunmamız gerekiyor.

1) Aylar arasında fark gözetilmiyor.

2) Yavrular her ayın ilk gününde doğuyor.

3) Her tavşan çifti (bir dişi, bir erkek) ikinci aydan itibaren yavrulamaya başlıyor.

4) Her çift yavrulamaya başladıkları aydan itibaren her ay biri erkek biri dişi olmak üzere yeni bir çift yavru doğuruyor.  

5)  Bir yıl süreyle hiç bir tavşan ölmüyor.

Problemi görselleştirerek anlamamız daha kolay olabilir. 

ilk 10 adım kadarını bu şekilde hesaplayabilsek de 100 ayın sonunda kaç tavşan elde edebileceğimizi hesaplamak oldukça zordur. Dolayısıyla diziyi matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:

Fibonacci dizisi bazı ilginç özelliklere sahiptir. Bunlardan bazılarını şöyle sıralayabiliriz:

1. Dizide n. terimin iki katından n+1. terim çıkarıldığında n-2. terimi verir. Örneğin, n=5 için dizinin değeri 5'tir ve 6. terim ise 8'dir bu durumda verilen işlem yapıldığında 3. terimi yani 2 değerini vermesini bekliyoruz. Kontrol edelim, 2*5 - 8 = 2 sağlandığı görülür.
2. n bir çift sayı olmak üzere, n. terime kadar olan tek sayılı terimlerin toplamı n. terimi verir. Örneğin, n=6 olsun 6. terimin değeri 8'dir ve bu terime kadar olan tek sayılı terimler 1, 3 ve 5'tir. Bu terimlerin değerleri toplamı 1+2+5 = 8 sağlanır.
3. n. terimin karesi ile n-2. terim karesinin farkı 2n-2. terimi verir. Örneğin, n=7 olsun, 7. terim 13 ve 5. terim 5 için 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 ve bu 12. terimin değeridir.
4. Dizinin herhangi ardışık 10 teriminin toplamı her zaman 11'in katıdır.
5. Dizinin ikinci terimden sonraki herhangi ardışık 2 terimi aralarında asaldır.

      Fibonacci dizisinin ardışık iki teriminden büyük olanın küçük olana oranı yaklaşık 1.618'dir. Bu oran size bir yerlerden tanıdık geliyor olabilir. Altın Oran (1.618033988749894...). Bu oran belki biz fark etmesek de bir çok mimari ve sanat eserinde bulunuyor. Örneğin Leonardo da Vinci’nin Mona Lisa tablosu, Mısır’daki piramitler, Mimar Sinan tarafından inşa edilen Süleymaniye ve Selimiye camileri de altın oranın kullanıldığı eserlerden bazılarıdır. Öyle ki altın oran yalnızca insanlar tarafından yapılan eserlerde bulunmuyor. Ayçiçekleri, salyangozlar, parmaklarımız ve yüzümüz de altın orana sahiptir.

kaynak: https://core.ac.uk/download/pdf/58824887.pdf