Sıfır Faktöriyel Neden Bire Eşit? - 0!=1

   Konuya öncelikle faktöriyelin tanımından başlamak doğru olacaktır. 

Tanım: 1’den büyük bir n doğal sayısı için, 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir. Yani n! = n*(n-1)*(n-2)*...*1 şeklinde gösterilir ve n!= n*(n-1)! denir.  Burada eşitliğin her iki tarafının da tanımlı olması gerektiğini de belirtelim...

6! ele alalım: 6*5*4*3*2*1 şeklinde hesaplanır ve bu adet 6 sayının çarpımıdır. Aynı şeklide 5!= 5*4*3*2*1 yani 5 adet sayının çarpımı. Peki 0! nedir? 0 adet sayının çarpımı nasıl hesaplanır? Yazımın hemen başındayken belirteyim ki 0!=1 ifadesi ispatı olan bir eşitlik değildir ve tamamen tanımdan kaynaklı bir kabuldür. 

Bazı sitelerde 0!=1 hakkında bazı ispatlar sunulur. Fakat bu ispatların da aslında yanlış olduğunu söylemek doğru olur çünkü bu ifade tamamen tanımdan kaynaklı olarak 1 kabul edilmiştir. Şimdi gelin sunulan ispatlara bir göz atalım...

n!=n*(n-1)! olduğunu belirtmiştik. 0! in kanıtı olarak öne sürülen argüman şudur: 

n=1 için, 1!=1*0! 

1!=1 olduğundan 1=1*0! o zaman 0! de 1 olur .

Fakat tanımda da belirttiğimiz üzere eşitliğin her iki tarafı da tanımlı olmalı. Yani n! tanımlı olduğu gibi (n-1)! de tanımlı olmalı. Şimdi n=1 için düşündüğümüzde 0! 'in ne olduğunu bilmeden eşitliğin karşısına yazdığımızda tanımlı olmayan bir ifade ile işlem yapmış oluruz yani önce 0!'i tanımlamamız gerekir. Dolayısıyla böyle bir ispat söz konusu değildir.

O zaman faktöriyel kavramının tanımını kısaca şu şekilde gösterebiliriz:

I) 0!=1

II) (n+1)!=(n+1)*n!

o halde 3! ele alalım:

3!=3*2!

2!=2*1!

1!=1*0! 

0!=??  diye kaldığımızda ise tanım devreye girer. Yani faktöriyel ifadesine bir yerden başlamamız gerekir yoksa hiçbir şekilde kanıtlayamayız. Buradan da geriye dönerek:

1!=1

2!=2

3!=6 bulmuş oluruz.

0! ispatıyla ilgili öne sürülen bir başka ifade ise kombinasyondur. Kombinasyon formülü C(n,r)=n!/r!(n-r!) dir. "6 kişi arasından 6 kişi kaç farklı şekilde seçilir?" sorusunun cevabı kombinasyonla bulunur ve sorunun cevabının 1 olduğu barizdir. Dolayısıyla kombinasyon ispatı olduğunu öne sürenler şöyle der:  

C(6,6)= 6!/6!*0! =1 ve bu durumda 0!=1 olur. Bu da tıpkı ilk argüman gibi hatalıdır. İfadelerin önce tanımlı olması gerekir.

Kaynak: https://www.youtube.com/watch?v=T97dGFB7dww