Matematikte Sonsuzluk - Hilbert Oteli Paradoksu

    

  Sonsuzluk başlangıçta Teoloji ile bağdaşlaştırılmış ve sonsuzluk denilince yalnızca ebedi sonsuzluktan bahsedilmiştir yani "sonsuzluk tektir ve Tanrı'ya aittir" düşüncesinden öteye geçilememiştir. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ile beraber sonsuzluk, matematik gündemine oturmuştur. Georg Cantor kümeler kuramının kurucusudur, sonsuz küme kavramına bir tanım getirmiş ve gerçel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan daha büyük olduğunu ispatlamıştır.

Basitçe, bir kümenin içindeki elemanlar sayılabilir durumdaysa sonlu; aksi halde sonsuz kümedir. Sayılabilir sonsuzluk kavramı da vardır fakat onu başka bir yazıda incelemek daha doğru olur. 

Sonsuzluk sembolü (∞) ilk olarak 1655 yılında John Wallis tarafından ortaya atılmıştır. Latincede infityum anlamına gelen sonsuzluk, sembol adını da yine latincede kurdele anlamına gelen lemniscustan alır.

Bir önceki yazımda sonsuza gitme ifadesinin hatalı olduğundan çünkü sonsuzluğun bir yer adı olmadığından veya bir sayı olmadığından ve sonsuzluğun bir kavram, sıfat olduğundan bahsetmiştim. Evet, sonsuzluk bir fikirdir. Şöyle bir örnek verelim, yaşadığınız evi düşünün. Daha sonra mahalleyi, semti, şehri, bölgeyi, ülkeyi, kıtayı, dünyayı, güneş sistemi, yıldızlar, gezegenler, samanyolu galaksisi, onların da galaksileri... derken git gide büyüyen ve bitmek bilmeyen bir şeyden bahsediyoruz ve bu şeye bir isim vermemiz gerekiyor. Biz de buna sonsuzluk diyoruz. Belki de böyle demek biraz işimize geliyor.

SONSUZLUĞUN FORMÜLÜNÜ BULAN ADAM

     Sonsuzluktan bahsederken Hint matematikçi Srinivasa Ramanujan'ı (1887 - 1920) anmamak haksızlık olur. Hindistan'da yoksulluk içinde büyüyen Ramanujan, 10 yaşında üniversite düzeyinde matematik bilgisine sahip olmuştur. Matematikten başka bir şeyle ilgilenmeyen Ramanujan'ın diğer dersleri oldukça kötüdür ve bir çok kez okul değiştirmek zorunda kalmıştır. Daha çok geometri ve sonsuz seriler üzerine yoğunlaşan Ramanujan, ikinci dereceden denklemleri çözmek için kendi yöntemini geliştirmiş ve kübik bir denklemi çözebilmiştir. Bir süre sonra okulu bırakmak zorunda kalıp annesinin isteğiyle evlendirilmiş fakat matematikle olan bağını asla koparmamıştır. 32 yaşında hastalığından dolayı hayata gözlerini yuman Ramanujan, o zamana kadar yaklaşık 600 kadar teoremi matematik dünyasına kazandırsa da asıl değeri öldükten sonra anlaşılmıştır. Ölümünden yıllar sonra bulunan not defterinde kara deliklerin yapılarının incelenmesini sağlayan formüller, sicim teorisi ile ilgili formüller, uzaydaki uyduların yörüngesel denklem formülleri, çoklu evren teoremleri ve hatta zamansal yolculuk formülleri olduğu ortaya çıkmıştır. Not defterinde halen neye ait olduğu bilinmeyen diğer formüller ise günümüzde bilim insanları tarafından araştırılmaktadır. Ramanujan' ın hayatını konu alan bir film önerisi isterseniz The Man Who Knew Infinity ( Sonsuzluğu Bilen Adam) filmini izleyebilirsiniz.

Sonsuzluk ile ilgili eğlenceli bir problem örneği de verelim. ↓

HİLBERT'İN SONSUZLUK OTELİ PARADOKSU

https://www.tzv.org.tr/#/haber/6565

     Sonsuz sayıda odası olan sonsuzluk otelinin tüm odaları doludur. Otele yeni bir müşteri daha gelir fakat otel müdürü hiçbir müşteriyi geri çevirmek istememektedir. Dolayısıyla şöyle bir çözüm  bulunur: Her müşteri bir sonraki odaya geçiş yapacaktır. Yani 1 numaralı odadaki müşteri 2 numaralı odaya; 2 numaralı müşteri 3 numaralı odaya... n numaralı odadaki müşteri n+1 numaralı odaya geçiş yapacaktır ve sonsuz odalı otelde sonsuz+1 oda sayısı olacaktır. Böylece 1 numaralı oda boşalacak ve yeni gelen müşteri 1 numaralı odaya yerleştirilecektir.

Şimdi problemi biraz daha büyütelim. Sonsuzluk oteline bir otobüs dolusu yeni müşteri gelsin. Bu kez otel müdürü şöyle bir öneride bulunuyor: Her müşteri kendi oda numarasının iki katı numaralı odaya geçiş yapsın yani 1, 2'ye; 2, 4'e; 3, 6'ya... n, 2n'e yerleşir. Böylece otelde 2 çarpı sonsuz oda olur ve geriye kalan 1 3 5 gibi bütün tek sayılı numaraya sahip odalara yeni gelen müşteriler yerleştirilir.

Problemi biraz daha kompleks hale getirelim, otele sonsuz sayıda sonsuz yolculu otobüs geldiğini düşünelim. Bildiğimiz üzere tek sayılar sonsuzdur, çift sayılar da sonsuzdur ve asal sayıların da sonsuz olduğunu M.Ö. 300 civarında Öklid ispatlamıştır. Dolayısıyla otel müdürünün çözümü şu oluyor: Bütün eski müşteriler oda numaralarını en küçük asal sayının üssü olarak yazıp o odaya geçmelerini istiyor. 1 numara, 2 üzeri 1'den 2 numaralı odaya; 2 numara, 2 üzeri 2'den 4'e; 3 numara 2 üzeri 3'ten 8'e... Daha sonra ilk otobüstekiler koltuk numaralarına göre 2. asal sayı olan 3'ün üsleri şeklinde yerleştirilir yani 1. koltuktaki yeni müşteri 3 üzeri 1'den 3 numaralı odaya; 2. koltuktaki 3 üzeri 2'den 9 numaralı odaya... böyle devam ederek her sonsuzluğa, sonsuzlukta bir yer bulunabilmiştir.

https://www.tzv.org.tr/#/haber/6565