Collatz Problemi - "Neredeyse" İspatlanmış Matematik Problemi

      3n+1 Teoremi, Dolu Tanesi Sayıları, Ulam Teoremi, Kakutani Problemi, Hasse Algoritması gibi bir çok isimle anılan Collatz Problemi her ne kadar 4 işlem bilen ufacık bir çocuğun bile anlayabileceği kadar basit görünse de ispatı oldukça zordur ve matematikçiler 1970 yılından beri bu problemin ispatıyla uğraşmaktadırlar. Peki Collatz Problemi nedir?

      1932 yılında Alman matematikçi Lothar Collatz tarafından keşfedilen bu problemi anlamak oldukça basittir. Probleme göre herhangi bir pozitif tam sayı başlangıç değer olarak alınır ve sayı tek ise 3 ile çarpılıp 1 eklenir; sayı çift ise 2 ile bölünür. Pozitif tam sayı her ne olursa olsun sonucun 4-2-1 şeklinde tekrar ettiği görülmüştür. Bir kaç örnekle daha kolay anlayalım:

10 sayısını ele alalım. 10 çift olduğu için ikiye bölünür, sonuç 5.

5 tek sayı olduğu için 3 ile çarpılır ve 1 eklenir, sonuç 16.

16 çift sayı olduğu için ikiye bölünür, sonuç 8.

8 çift sayı olduğu için ikiye bölünür, sonuç 4.

4 çift sayı olduğu için ikiye bölünür, sonuç 2.

2 çift sayı olduğu için ikiye bölünür, sonuç 1. Görüldüğü üzere sonuç 1'e çıktı.

Başka bir başlangıç değeri seçelim. Sayımız 14 olsun:

14 -> 7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 ->  52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4-> 2 -> 1

Yukarıda görüldüğü üzere bu kez işlemler biraz daha uzun sürdü fakat belirli bir noktadan sonra ilk örnekteki gibi 10 değerine ulaştı ve tekrar etti. Dolayısıyla bu problemi ağaç yapısı ile daha kolay gösterebiliriz. Örneğin;

      Elbette 1'e ulaşmak her zaman bu kadar hızlı olmuyor. Örneğin 27 sayısı 77. adımda 9.232 değerine ulaşıyor ve 111. adımda 1 sayısına ulaşıyor. Bir diğer örnek ise 26.623 sayısı. Bu sayı maksimum 106.358.020 değerine ulaşıyor ve 1 sayısına ulaşması tam 307 basamak sürüyor. 

Öyle ki bu ağaç yapısından yola çıkılarak organik gibi görünen şu kusursuz yapılar ortaya konmuştur.

kaynak: http://bilimveaydinlanma.org/collatz-sanisi/

kaynak: https://oli.me.uk/the-collatz-conjecture-visualised-in-clojure/

      Bu kadar basit bir problemin ispatının bu denli zor oluşu, probleme olan ilgiyi daha da arttırmıştır. Hatta problemi çözecek kişiye 120 milyon JPY ödül verileceği söylenmiştir. Peki bunca yıldır ispatı yapılamadıysa, bu problem tamamen bir rastlantı olabilir mi? Tabiki de matematikte hiçbir şey rastlantı olamaz. Problem şimdiye kadar "tam anlamıyla" ispatlanamadı evet ama 2 yaşında kendi kendine okumayı öğrenen, 9 yaşında bir yandan lise hayatına bir yandan Flinders Üniversitesi'nden dersler almaya başlayan ve 17 yaşında mastır yapan 1975 doğumlu Terence Tao, 2019 yılında Collatz Probleminin "neredeyse" tüm sayılar için doğru olduğunu ispatlamıştır ancak halen kesin bir sonuca gidilememekle birlikte günümüzde bir çok matematikçi uğraşmaktadır ve problem şimdiye kadar 268‘den küçük her sayı için ispatlanmıştır. Yani problemi çürütmek istiyorsanız yaklaşık olarak 300 kentilyondan başlamalısınız. Siz de denemek isterseniz linkten istediğiniz başlangıç değerinin adımlarını görebilirsiniz.